Nous avons les conditions suivantes :
x ≡ 1 (mod 2) - Quand ils se regroupent par 2, il en reste 1.
x ≡ 2 (mod 3) - Quand ils se regroupent par 3, il en reste 2.
x ≡ 3 (mod 4) - Quand ils se regroupent par 4, il en reste 3.
x ≡ 4 (mod 5) - Quand ils se regroupent par 5, il en reste 4.
Commençons par examiner la dernière condition (x ≡ 4 (mod 5)). Cela signifie que "x" doit être de la forme "5n + 4", où "n" est un entier.
Ensuite, passons à la troisième condition (x ≡ 3 (mod 4)). Cela signifie que "x" doit être de la forme "4m + 3", où "m" est un entier.
Nous avons donc les deux équations :
x = 5n + 4
x = 4m + 3
Nous allons chercher une solution commune à ces deux équations en itérant à partir de 1 jusqu'à trouver un nombre qui satisfait les deux équations :
Essayons avec n = 1 :
Pour n = 1, x = 5 * 1 + 4 = 5 + 4 = 9.
Vérifions si cela satisfait également la deuxième équation (x ≡ 2 (mod 3)) :
Pour x = 9, x ≡ 0 (mod 3), ce qui ne correspond pas à la deuxième condition.
Passons à n = 2 :
Pour n = 2, x = 5 * 2 + 4 = 10 + 4 = 14.
Vérifions la deuxième équation (x ≡ 2 (mod 3)) :
Pour x = 14, x ≡ 2 (mod 3), ce qui correspond à la deuxième condition.
Donc, x = 14 est une solution qui satisfait les deux premières conditions. Vérifions également les deux autres conditions :
x ≡ 1 (mod 2) : Pour x = 14, x ≡ 0 (mod 2), ce qui ne correspond pas à la première condition.
x ≡ 3 (mod 4) : Pour x = 14, x ≡ 2 (mod 4), ce qui ne correspond pas à la troisième condition.
Continuons à augmenter n et à vérifier les conditions :
Pour n = 3, x = 5 * 3 + 4 = 15 + 4 = 19.
Vérifions les conditions :
x ≡ 1 (mod 2) : Pour x = 19, x ≡ 1 (mod 2), ce qui correspond à la première condition.
x ≡ 2 (mod 3) : Pour x = 19, x ≡ 1 (mod 3), ce qui ne correspond pas à la deuxième condition.
x ≡ 3 (mod 4) : Pour x = 19, x ≡ 3 (mod 4), ce qui correspond à la troisième condition.
x ≡ 4 (mod 5) : Pour x = 19, x ≡ 4 (mod 5), ce qui correspond à la quatrième condition.
Nous voyons que lorsque n = 3, toutes les conditions ne sont pas satisfaites. Donc, x = 19 n'est pas une solution valide.
Continuons à augmenter n :
Pour n = 4, x = 5 * 4 + 4 = 20 + 4 = 24.
Vérifions les conditions :
x ≡ 1 (mod 2) : Pour x = 24, x ≡ 0 (mod 2), ce qui ne correspond pas à la première condition.
x ≡ 2 (mod 3) : Pour x = 24, x ≡ 0 (mod 3), ce qui ne correspond pas à la deuxième condition.
x ≡ 3 (mod 4) : Pour x = 24, x ≡ 0 (mod 4), ce qui ne correspond pas à la troisième condition.
x ≡ 4 (mod 5) : Pour x = 24, x ≡ 4 (mod 5), ce qui correspond à la quatrième condition.
Nous voyons que lorsque n = 4, la quatrième condition est satisfaite, mais les trois premières conditions ne le sont pas.
Continuons jusqu'à ce que toutes les conditions soient satisfaites :
Pour n = 5, x = 5 * 5 + 4 = 25 + 4 = 29.
Vérifions les conditions :
x ≡ 1 (mod 2) : Pour x = 29, x ≡ 1 (mod 2), ce qui correspond à la première condition.
x ≡ 2 (mod 3) : Pour x = 29, x ≡ 2 (mod 3), ce qui correspond à la deuxième condition.
x ≡ 3 (mod 4) : Pour x = 29, x ≡ 1 (mod 4), ce qui ne correspond pas à la troisième condition.
x ≡ 4 (mod 5) : Pour x = 29, x ≡ 4 (mod 5), ce qui correspond à la quatrième condition.
Toutes les conditions ne sont pas satisfaites pour x = 29.
Continuons jusqu'à ce que nous trouvions la solution finale :
Pour n = 6, x = 5 * 6 + 4 = 30 + 4 = 34.
Pour n = 7, x = 5 * 7 + 4 = 35 + 4 = 39.
Vérifions les conditions pour n = 7 :
x ≡ 1 (mod 2) : Pour x = 39, x ≡ 1 (mod 2), ce qui correspond à la première condition.
x ≡ 2 (mod 3) : Pour x = 39, x ≡ 0 (mod 3), ce qui ne correspond pas à la deuxième condition.
x ≡ 3 (mod 4) : Pour x = 39, x ≡ 3 (mod 4), ce qui correspond à la troisième condition.
x ≡ 4 (mod 5) : Pour x = 39, x ≡ 4 (mod 5), ce qui correspond à la quatrième condition.
Toutes les conditions ne sont pas satisfaites pour x = 39.
Pour n = 8, x = 5 * 8 + 4 = 40 + 4 = 44. idem
Pour n = 9, x = 5 * 9 + 4 = 45 + 4 = 49. idem
Pour n = 10, x = 5 * 10 + 4 = 50 + 4 = 54. idem
Pour n = 11, x = 5 * 11 + 4 = 55 + 4 = 59.
Vérifions les conditions pour n = 11 :
x ≡ 1 (mod 2) : Pour x = 59, x ≡ 1 (mod 2), ce qui correspond à la première condition.
x ≡ 2 (mod 3) : Pour x = 59, x ≡ 2 (mod 3), ce qui correspond à la deuxième condition.
x ≡ 3 (mod 4) : Pour x = 59, x ≡ 3 (mod 4), ce qui correspond à la troisième condition.
x ≡ 4 (mod 5) : Pour x = 59, x ≡ 4 (mod 5), ce qui correspond à la quatrième condition.
Toutes les conditions sont satisfaites pour x = 59.
lvdn a écrit :Source of the postSmith a écrit :Source of the post C'est beau.
Comment tu fais les 3 petites barres horizontales ?^^
C' est méritoire mais un peu lourd, en 3 lignes on boucle le truc.
C’est surtout plus court car tu n’expliques pas et n’écrit pas tout, mais tu fais la même chose
"En tout cas si un jour on manque de viande bovine, je boufferai de l'écolo, ça doit être sain comme bidoche à toujours manger bio."
Dodger jeudi 3 août 2017 21h48
Dodger jeudi 3 août 2017 21h48
Bah moi je l'ai fait dans l'ordre de l'énoncé (avec en préambule la limitation à 100), et ça marche bien aussi.
On passe de 50 possibilités, à 16, puis 8 et enfin une seule : et c'est le Noooooord...
Ce qui est troublant (et chiant) c'est que la solution à l'énigme ne peut qu'être empirique, et non algébrique, même si on se doute bien qu'on va atterrir sur un nombre 1er.
On passe de 50 possibilités, à 16, puis 8 et enfin une seule : et c'est le Noooooord...
Ce qui est troublant (et chiant) c'est que la solution à l'énigme ne peut qu'être empirique, et non algébrique, même si on se doute bien qu'on va atterrir sur un nombre 1er.
Djeunzzz a écrit :Source of the post Bah moi je l'ai fait dans l'ordre de l'énoncé (avec en préambule la limitation à 100), et ça marche bien aussi.
On passe de 50 possibilités, à 16, puis 8 et enfin une seule : et c'est le Noooooord...
Ce qui est troublant (et chiant) c'est que la solution à l'énigme ne peut qu'être empirique, et non algébrique, même si on se doute bien qu'on va atterrir sur un nombre 1er.
et moi je fais dans l' ordre inverse, on passe de 19 possibilités à 6, et sur les 6 je cherche celle(s) qui répond également au regroupement par 3: 1 seule 59.
Y a 0 calcul à faire, seulement développer le début des séries qui devient vite cyclique et cocher les nbres identiques dans les différentes lignes, ça converge très rapidement.
Modifié en dernier par lvdn le mer. 27 sept. 2023 22:17, modifié 1 fois.
lvdn a écrit :Source of the postDjeunzzz a écrit :Source of the post Bah moi je l'ai fait dans l'ordre de l'énoncé (avec en préambule la limitation à 100), et ça marche bien aussi.
On passe de 50 possibilités, à 16, puis 8 et enfin une seule : et c'est le Noooooord...
Ce qui est troublant (et chiant) c'est que la solution à l'énigme ne peut qu'être empirique, et non algébrique, même si on se doute bien qu'on va atterrir sur un nombre 1er.
et moi je fais dans l' ordre inverse, on passe de 19 possibilités à 6, et sur les 6 je cherche celle(s) qui répond également au regroupement par 3: 1 seule 59.
Y a 0 calcul à faire, seulement développer le début des séries qui devient vite cyclique et cocher les nbres identiques dans les différentes lignes, ça converge très rapidement.
Pour tes différents regroupements tu fais nécessairement des calculs , de tête peut être, mais tu les fais.
Et dans ton premier regroupement il te manque le 4 dans ta liste ( 4/5= 0*5 avec un reste de 4).
"En tout cas si un jour on manque de viande bovine, je boufferai de l'écolo, ça doit être sain comme bidoche à toujours manger bio."
Dodger jeudi 3 août 2017 21h48
Dodger jeudi 3 août 2017 21h48
Djeunzzz a écrit :Source of the post Y'a pas de bonne ou mauvaise méthode, tu as 4 conditions à respecter, donc autant d'étapes à franchir, que tu les prenne par devant ou par derrière.
Désolé, non: le regroupement par 5 te donne 19 possibilités 9 puis 14, 19, puis 24,29, puis......... donc d4,d9 pour d variant de 1 a 9, facile à retenir.
le regroupement par 4 commence à 7, 11 et se poursuit modulo +4, 15,19 ( 1 er élément commun aux 2 règles), tu continues la progression et chaque fois que tu tombes sur d4 ou d9 , tu notes.
A la fin tu auras noté 19,39,59,79 et 99 et seul 59 colle au regroupement par 3.
On trouve la solution en utilisant 3 des 4 propositions, quant aux calculs, c' est niveau CP.
Après, on peut, bien sûr, faire plus compliqué.
Modifié en dernier par lvdn le mer. 27 sept. 2023 23:07, modifié 1 fois.
1. x ≡ 1 (mod 2) signifie que x est impair, car si x était pair, il ne resterait pas 1 lorsqu'il est divisé par 2. Donc, x est de la forme x = 2a + 1, où a est un entier.
2. x ≡ 2 (mod 3) signifie que x est de la forme x = 3b + 2, où b est un entier.
3. x ≡ 3 (mod 4) signifie que x est de la forme x = 4c + 3, où c est un entier.
4. x ≡ 4 (mod 5) signifie que x est de la forme x = 5d + 4, où d est un entier.
Maintenant, nous allons utiliser le théorème chinois du reste pour trouver la solution unique modulo 2*3*4*5 = 120. Le théorème chinois du reste dit que si nous avons des équations congruentes modulo des nombres premiers mutuellement premiers, nous pouvons trouver une solution unique modulo leur produit.
Nous pouvons écrire ces équations comme suit :
1. x = 2a + 1
2. x = 3b + 2
3. x = 4c + 3
4. x = 5d + 4
Nous allons commencer par résoudre les équations 1 et 2 :
2a + 1 = 3b + 2
Cela implique que 2a - 3b = 1. Pour trouver une solution, il faut toujours tenter les solutions évidentes, nous pouvons essayer différentes valeurs de a et b. En essayant a = 2 et b = 1, nous avons :
2*2 - 3*1 = 4 - 3 = 1
Donc, a = 2 et b = 1 sont une solution.
Maintenant, nous pouvons égaliser cette solution avec l'équation 3 :
2a + 1 = 4c + 3
En remplaçant a par 2, nous avons :
4 + 1 = 4c + 3
Cela implique que 4c = 2, donc c = 1/2, ce qui n'est pas un entier. Cela signifie que la solution précédente n'est pas valide pour cette équation.
Nous devons maintenant essayer une nouvelle solution pour les équations 1 et 2. En essayant a = -1 et b = -1, nous avons :
2*(-1) - 3*(-1) = -2 + 3 = 1
Donc, a = -1 et b = -1 sont une autre solution.
Maintenant, nous pouvons égaliser cette solution avec l'équation 3 :
2*(-1) + 1 = 4c + 3
-2 + 1 = 4c + 3
Cela implique que -1 = 4c + 3, donc 4c = -4, ce qui signifie c = -1.
Maintenant, nous avons trouvé une nouvelle solution pour les équations 1, 2 et 3 :
a = -1
b = -1
c = -1
Nous pouvons maintenant utiliser cette solution pour résoudre l'équation 4 :
2a + 1 = 5d + 4
En remplaçant a par -1, nous avons :
2*(-1) + 1 = 5d + 4
-2 + 1 = 5d + 4
Cela implique que -1 = 5d + 4, donc 5d = -5, ce qui signifie d = -1.
Maintenant, nous avons trouvé une solution pour toutes les équations :
a = -1
b = -1
c = -1
d = -1
Maintenant, nous pouvons calculer x en utilisant l'une des équations initiales, par exemple :
x = 2a + 1 = 2*(-1) + 1 = -2 + 1 = -1
Cependant, cette solution est modulo 120, car c'est ce que nous avons obtenu en utilisant le théorème chinois du reste. Pour obtenir une solution positive, nous pouvons ajouter 120 à -1 à plusieurs reprises jusqu'à ce que nous obtenions une solution positive. En ajoutant 120 à -1, nous obtenons -1 + 120 = 119. Cette solution est également valide, car 119 est bien congru à -1 modulo 120.
Donc, x = 119 est une solution valide du système d'équations congruentes modulo 2, 3, 4 et 5, ce qui signifie que x ≡ 119 (mod 120). Cependant, le nombre de danseurs est limité à 100.
Nous pouvons soustraire 60 à x = 119, car 60 est un multiple de 120 :
x = 119 - 60 = 59
Donc, la solution x = 59 est également valide pour le système d'équations congruentes donné.
2. x ≡ 2 (mod 3) signifie que x est de la forme x = 3b + 2, où b est un entier.
3. x ≡ 3 (mod 4) signifie que x est de la forme x = 4c + 3, où c est un entier.
4. x ≡ 4 (mod 5) signifie que x est de la forme x = 5d + 4, où d est un entier.
Maintenant, nous allons utiliser le théorème chinois du reste pour trouver la solution unique modulo 2*3*4*5 = 120. Le théorème chinois du reste dit que si nous avons des équations congruentes modulo des nombres premiers mutuellement premiers, nous pouvons trouver une solution unique modulo leur produit.
Nous pouvons écrire ces équations comme suit :
1. x = 2a + 1
2. x = 3b + 2
3. x = 4c + 3
4. x = 5d + 4
Nous allons commencer par résoudre les équations 1 et 2 :
2a + 1 = 3b + 2
Cela implique que 2a - 3b = 1. Pour trouver une solution, il faut toujours tenter les solutions évidentes, nous pouvons essayer différentes valeurs de a et b. En essayant a = 2 et b = 1, nous avons :
2*2 - 3*1 = 4 - 3 = 1
Donc, a = 2 et b = 1 sont une solution.
Maintenant, nous pouvons égaliser cette solution avec l'équation 3 :
2a + 1 = 4c + 3
En remplaçant a par 2, nous avons :
4 + 1 = 4c + 3
Cela implique que 4c = 2, donc c = 1/2, ce qui n'est pas un entier. Cela signifie que la solution précédente n'est pas valide pour cette équation.
Nous devons maintenant essayer une nouvelle solution pour les équations 1 et 2. En essayant a = -1 et b = -1, nous avons :
2*(-1) - 3*(-1) = -2 + 3 = 1
Donc, a = -1 et b = -1 sont une autre solution.
Maintenant, nous pouvons égaliser cette solution avec l'équation 3 :
2*(-1) + 1 = 4c + 3
-2 + 1 = 4c + 3
Cela implique que -1 = 4c + 3, donc 4c = -4, ce qui signifie c = -1.
Maintenant, nous avons trouvé une nouvelle solution pour les équations 1, 2 et 3 :
a = -1
b = -1
c = -1
Nous pouvons maintenant utiliser cette solution pour résoudre l'équation 4 :
2a + 1 = 5d + 4
En remplaçant a par -1, nous avons :
2*(-1) + 1 = 5d + 4
-2 + 1 = 5d + 4
Cela implique que -1 = 5d + 4, donc 5d = -5, ce qui signifie d = -1.
Maintenant, nous avons trouvé une solution pour toutes les équations :
a = -1
b = -1
c = -1
d = -1
Maintenant, nous pouvons calculer x en utilisant l'une des équations initiales, par exemple :
x = 2a + 1 = 2*(-1) + 1 = -2 + 1 = -1
Cependant, cette solution est modulo 120, car c'est ce que nous avons obtenu en utilisant le théorème chinois du reste. Pour obtenir une solution positive, nous pouvons ajouter 120 à -1 à plusieurs reprises jusqu'à ce que nous obtenions une solution positive. En ajoutant 120 à -1, nous obtenons -1 + 120 = 119. Cette solution est également valide, car 119 est bien congru à -1 modulo 120.
Donc, x = 119 est une solution valide du système d'équations congruentes modulo 2, 3, 4 et 5, ce qui signifie que x ≡ 119 (mod 120). Cependant, le nombre de danseurs est limité à 100.
Nous pouvons soustraire 60 à x = 119, car 60 est un multiple de 120 :
x = 119 - 60 = 59
Donc, la solution x = 59 est également valide pour le système d'équations congruentes donné.
mister T a écrit :Source of the post vous compliquez:
on recherche un nombre auquel si on ajoutait 1 serait multiple de 2, 3, 4 et 5: donc x=ppcm(2,3,4,5) - 1 = 60 - 1 =59
Ça, c'est propre !
mister T a écrit :Source of the post vous compliquez:
on recherche un nombre auquel si on ajoutait 1 serait multiple de 2, 3, 4 et 5: donc x=ppcm(2,3,4,5) - 1 = 60 - 1 =59
Clap clap clap - Clair, net et précis comme un tir de Bayo pleine lucarne un 1er dimanche d'octobre !
Nicobungy a écrit :Source of the post Les Beatles, les sur ou sous numéraires. Ruses de Sioux !
https://www.youtube.com/watch?v=gCzsEMZpSrM
Merci d'avoir déterré ce topic, j'avais zappé cette vidéo absolument passionnante !
Le mec explique d'une façon limpide toute la complexité des compos des Beatles, tout le génie résidant dans la façon de rendre cette complexité quasi imperceptible par les non initiés.
Il n'y a vraiment que quand on commence à vouloir relever et écrire leur musique qu'on se rend compte que quelque chose cloche dans la rythmique :-)
Je m'en suis rendu compte assez tard ... un peu comme j'ai dénigré John Bonham (batteur de Led Zep) au début, longtemps considéré comme un bourrin (con comme j'étais) avant de décortiquer et capter son génie.
Zappa a écrit :Source of the postmister T a écrit :Source of the post vous compliquez:
on recherche un nombre auquel si on ajoutait 1 serait multiple de 2, 3, 4 et 5: donc x=ppcm(2,3,4,5) - 1 = 60 - 1 =59
Clap clap clap - Clair, net et précis comme un tir de Bayo pleine lucarne un 1er dimanche d'octobre !
Propre, rapide et intuitif, c'est joli et une bonne solution quand on ne sait pas comment trouver le signe congruence sur un clavier
mister T a écrit :Source of the post vous compliquez:
on recherche un nombre auquel si on ajoutait 1 serait multiple de 2, 3, 4 et 5: donc x=ppcm(2,3,4,5) - 1 = 60 - 1 =59
Joli
"En tout cas si un jour on manque de viande bovine, je boufferai de l'écolo, ça doit être sain comme bidoche à toujours manger bio."
Dodger jeudi 3 août 2017 21h48
Dodger jeudi 3 août 2017 21h48
lvdn a écrit :Source of the postDjeunzzz a écrit :Source of the post Y'a pas de bonne ou mauvaise méthode, tu as 4 conditions à respecter, donc autant d'étapes à franchir, que tu les prenne par devant ou par derrière.
Désolé, non: le regroupement par 5 te donne 19 possibilités 9 puis 14, 19, puis 24,29, puis......... donc d4,d9 pour d variant de 1 a 9, facile à retenir.
le regroupement par 4 commence à 7, 11 et se poursuit modulo +4, 15,19 ( 1 er élément commun aux 2 règles), tu continues la progression et chaque fois que tu tombes sur d4 ou d9 , tu notes.
A la fin tu auras noté 19,39,59,79 et 99 et seul 59 colle au regroupement par 3.
On trouve la solution en utilisant 3 des 4 propositions, quant aux calculs, c' est niveau CP.
Après, on peut, bien sûr, faire plus compliqué.
Pourquoi pas 4…
Et pour trouver 9 tu fais biens 5+4 non? Donc calcul..
Bref, mister T a été le meilleur!
"En tout cas si un jour on manque de viande bovine, je boufferai de l'écolo, ça doit être sain comme bidoche à toujours manger bio."
Dodger jeudi 3 août 2017 21h48
Dodger jeudi 3 août 2017 21h48
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